生物の形態形成の過程を細胞レベルで理解するために、Vertex Dynamics Model (V.D.M.)と呼ばれる数理モデルが考案されている。 V.D.M.は細胞を頂点の集合で表現し、その頂点位置をエネルギー汎関数の勾配系でupdateさせる方法である。 V.D.M.は、2004年頃から本多 久夫氏(神戸大)らにより開発され、生命現象への応用研究が始まったが、その後、井上 康博氏(京大)、奥田 覚氏(金沢大)らの研究により、複雑な3D形状などへも研究展開されている。 このようなことから近年、生物の形態形成の理論的研究では、広く用いられるようになってきている。 V.D.M.では、エネルギー汎関数の設計およびその最小化が肝要であるが、エネルギー汎関数の設計はある程度の指針はあるものの、最小化の方法はいくつか選択肢がある。 選択肢のうち、計算の実装が比較的容易であるという利点から、数値的にエネルギー汎関数を評価し、次の計算ステップへと進む方法が多く用いられている。 ところが、この方法は計算刻み幅を大きくとることができないなどの理由から、高速計算することは難しい。 そこで、秋山および共同研究者の須志田は、V.D.M.において多用されるエネルギー汎関数に対して、前もって手計算で汎関数微分を評価し、さらに埋め込み型ルンゲ・クッタ法（時間刻み幅を可変にできる常微分方程式ソルバー）とを併用することで、計算の高速化をはかることできる方法を開発した。

講演では、上記方法の詳細を述べると共に、この方法を応用した実際の生物現象に対するアプリケーションの例をいくつか紹介したい。

講演者は，これまである楕円型・放物型偏微分方程式における特殊解の存在や形状，漸近挙動をポアンカレ型コンパクト化や（連続）力学系理論を用いて調べてきた． これは，特殊解の満たす常微分方程式系の無限遠ダイナミクスを調べる問題に帰着させることが本質的である．

本講演では，ポアンカレ型コンパクト化とそれを用いた無限遠ダイナミクスの捉え方について概説し，偏微分方程式の特殊解を調べる枠組みについて説明するとともに，講演者による最近の2つの結果を（1番目を中心に話し，2番目は時間が許せば）紹介する．

1つ目はこれまで講演者によるある空間1次元退化放物型方程式の非負の進行波解の分類（存在するものをすべて列挙し，その形状と漸近挙動を明らかにすること）の応用として，空間1次元多孔質媒質方程式の非負の進行波解の分類に関する結果と進行波解を特徴付ける常微分方程式系の無限遠からの分岐に相当する現象について述べる． この結果は坂元孝志氏（明治大学）との共同研究に基づくものである．

2つ目は高次元領域におけるKeller-Segel系の正値球対称前方自己相似解の原点付近と無限遠方での漸近挙動に関する結果である． 本結果は和久井洋司氏（東京理科大）との共同研究に基づくものである．

HMCの収束定理：ハミルトニアンモンテカルロ(HMC)はMCMCというマルコフ遷移を用いたサンプリング法の1種である． HMCでは状態空間に擬似運動量を加えて2倍の次元の相空間に拡張し，その上のハミルトン力学を用いて可逆なマルコフ遷移を構成することで効率良くサンプリングを行う． 多様体上のHMCについて，一般的な条件下での収束定理は知られているが，漸近的な誤差評価が未解決である．

乱流統計：2次元乱流の統計的性質を理解するために，2次元非粘性・非圧縮流れをN点渦系で近似し，系の不変測度を調べるというアプローチがある． 不変測度は系の発展方程式の長時間直接数値計算で得られるが，計算コストがN2乗のオーダーで高いことが課題である．

本講演では，まずコンパクト多様体上のHMCの漸近誤差評価について説明する． HMCの応用として，N点渦系の不変測度をモンテカルロ近似し解析結果を示す．

「位相的データ解析（TDA）」はトポロジーを応用してデータから有用な情報を得ようという応用数学の分野です。 TDAの代表的な道具に「パーシステンス図（PD）」があり、データに含まれるホモロジー的構造（穴や空洞など）を俯瞰的かつ定量的に描き出すことができます。 「PDを描く操作」は、多元環の表現論という純粋数学の立場からは「A_n型クイバーの表現の直既約分解を求める操作」と理解されており、この視点はPDをより強力な道具へと発展させる方法論に繋がっていきます。 本講演では、その方法論の１つとして、与えられたデータを「区間表現」という直既約因子たちの足し合わせによって近似的に表現する手法について解説し、それが現実のデータに対してどのような描像を与えてくれるのかを見ていきます。 なお、今回お話しする内容は浅芝秀人・Emerson G. Escolar・吉脇理雄らとの共同研究、および平岡裕章・大林一平・許晨光らとの共同研究に基いています。

方程式の解の境界値からその方程式の係数を決める逆問題を考える。 方程式が線型でも解と係数の関係は非線型であり、境界値を係数の級数として表すことができる。 与えられた境界値を使いこの級数から未知の係数を決めることが、ここで考える逆問題である。 このような逆問題は昔から様々な分野で考えられてきた。 級数の1次の項までとって線型近似するボルン近似がよく知られている。 未知の係数を既知の境界値の級数として書き、線型近似をせずに再構成する逆問題の解法がこの10年ほどの間に発展した。 本講演ではこの逆級数の方法を紹介する。 従来の線型近似において、指数関数の肩を級数で表すリトフ近似の方がボルン近似よりも実用的であることが、光トモグラフィーなどの逆問題の研究で知られている。 本講演では、最近提案した逆リトフ級数について、その収束や誤差評価について述べる。

変形を伴う自己駆動体運動を記述する数理モデルを反応拡散系によって表現することを考える． この数理モデルは，あるパラメータをコントロールすることで液滴運動のような変形する自己駆動体運動から固体樟脳のような変形しない自己駆動体運動まで表現可能であることを数値計算によって明らかにする． 次に，反応拡散系モデルに対する特異極限方程式を形式的に導出し，空間1次元問題ではこれまで研究されている自己駆動体運動モデルと一致することを示す． 空間2次元問題では，自己駆動体を閉曲線で近似したエネルギーL2勾配流法によって導出される自由境界問題と一致することを示す．

ユークリッド空間における標準正規分布に対する Kullback–Leibler ダイバージェンスのWasserstein 勾配流は Fokker–Planck 方程式である． そして標準正規分布に対する Kullback–Leibler ダイバージェンスはWasserstein 距離関数に関して強凸関数であり，この強凸性は Fisher計量と標準正規分布に対する Kullback–Leibler ダイバージェンスを比較する対数Sobolev不等式を導く． 本講演では情報幾何におけるダイバージェンスを用いて，この議論を他の発展方程式に統一的に拡張する方法を紹介する．

Y. Mori, A. Jilkine, L. Edelstein-Keshet (2011)は細胞の極性化を記述するモデル方程式を提唱し、主に数値計算による大域的な定常解の解構造を示した． 本講演ではこの方程式のある種の極限系である積分制約条件付きのスカラー反応拡散方程式につて、その定常解の大域的解構造および安定性に関する解析結果を報告する． 方程式の特徴から、完全楕円積分を用いた定常解の表示式が得られる． これを用いて、解構造及び安定性を議論することができる． 本講演では対称解および特異性を持つ解の安定性を中心にお話しする． また、保存量に依存して、大域的解構造は異なり、2次分岐および不完全分岐などの現象が現れる． この点について現在得られている結果や問題点も述べる予定である．

本講演は久藤衡介（早稲田大学）、宮本安人（東京大学）、森竜樹（武蔵野大学）、四ツ谷晶二（龍谷大学）との共同研究に基づくものである．（敬称を省略します）

パーシステントホモロジー(PH)はホモロジーを利用しデータの形の情報を定量的に抽出するためのツールである． データの特徴的幾何構造を捉えるためにPHと機械学習的な手法を組み合わせるのは最近良く研究されているアイデアである． 本講演では我々が提案している

(1) PH のベクトル化には Persistence Image という シンプルな手法を使う

(2) 機械学習の手法としては線形モデルを使う (線形回帰，ロジスティック回帰，PCA，NMF など)

(3) 学習結果に対応するホモロジカルな構造を逆解析と我々が呼んでいる手法を用いて元データの上にマッピングする，
という枠組みについて紹介する． この枠組みは精度よりも結果の解釈性に焦点を当てたものである． 本講演ではこの枠組みを材料科学に適用して得られた結果についても紹介する．

以下の2つの論文がこの講演の主な内容である． 一つ目については平岡（京大），木村（KEK）との共同研究で，２つ目は平田（早稲田），和田（東北大AIMR），平岡（京大） との共同研究である

• Ippei Obayashi, Yasuaki Hiraoka, and Masao Kimura. Persistence diagrams with linear machine learning models. Journal of Applied and Computational Topology 1, 3-4, 421–449, (2018).
• Akihiko Hirata, Tomohide Wada, Ippei Obayashi and Yasuaki Hiraoka. Structural changes during glass formation extracted by computational homology with machine learning. Communications Materials 1, 98 (2020). https://doi.org/10.1038/s43246-020-00100-3